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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Integral de Lebesgue (111087M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Análisis II (111082M) (Cursado))

Objetivo
  1. El principal objetivo de este curso es proporcionar a los estudiantes conocimientos básicos de la medida y la integral de Lebesgue en , y su extensión a . Se estudian las nociones y propiedades básicas y los teoremas de convergencia. Al finalizar el curso los estudiantes deben estar en capacidad de emplear con solvencia la medida y la integral de Lebesgue en sus distintas aplicaciones, y reconocer las diferencias respecto de la integral de Riemann.
Contenido
  1. Unidad I: La medida de Lebesgue en (4 semanas).

    álgebras y sigma-álgebras, medida exterior de Lebesgue en , conjuntos Lebesgue-medibles, conjuntos no medibles, conjuntos borelianos.

  2. Unidad 2: Funciones medibles y funciones integrables (4 semanas).

    Funciones medibles, integración de funciones simples, integración de funciones no negativas, integración de funciones acotadas, funciones integrables, teoremas de convergencia (convergencia dominada, convergencia monótona, lema de Fatou).

  3. Unidad 3: Diferenciación e integración (3 semanas).

    Funciones de variación acotada, funciones absolutamente continuas, derivada de una integral.

  4. Unidad 4: Medidas producto y medida de Lebesgue en (4 semanas).

    Espacios de medida generales, integración, medidas exteriores, construcción de una medida a partir de una medida exterior, medidas producto, medida de Lebesgue en , el teorema de Fubini y el teorema de Tonelli.

Bibliografía:
  1. Ash, R. Integration, and functional analysis, Academic Press, 1972.
  2. Franks, J., A (Terse) Introduction to Lebesgue Integration, American Mathematical So- ciety, Student Mathematical Library, 2009.
  3. Folland, G.B. Real Analysis, John Wiley and sons, 1984.
  4. Restrepo, G. Teoría de la Integración, Universidad del Valle, 2004.
  5. Royden, H.L. Real Analysis, 3a edición, Macmillan Publishing Company, 1988.