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UNIVERSIDAD DEL VALLE

DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS


Cálculo III (111052M) (OCT) (5 horas/semana) (4 créditos) (Prerrequisito: Cálculo II (111051M) Aprobada, Álgebra Lineal (111048M) Aprobada).


Objetivos Generales:

  1. Establecer los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial e integral de las funciones vectoriales y de las funciones de varias variables, las integrales de línea y de superficie.

  2. Capacitar al estudiante para manejar con destreza las técnicas propias del Cálculo en varias variables y sus aplicaciones a la resolución de problemas.


Contenido

Unidad 1: Funciones Vectoriales.

Funciones vectoriales. Operaciones algebraicas. Limites, continuidad, derivada e integral de funciones vectoriales. Vector Tangente y Normal. Vectores velocidad y aceleración. Longitud de curvas. Componentes tangencial y normal de la aceleración. Curvatura.


Unidad 2: Funciones de Varias Variables.

Campos vectoriales y campos escalares. Curvas y superficies de nivel. Superficies: cilindros, superficies de revolución, superficies cuadráticas. Limite y continuidad de campos escalares. Derivada direccional, derivadas parciales. Interpretación geométrica. Derivada total. Gradiente de un campo escalar. Regla de la cadena para campos escalares. Recta normal y plano tangente a una superficie. Derivada de campos vectoriales. Forma matricial de la regla de la cadena.


Unidad 3: Aplicaciones de las Derivadas Parciales.

Derivada de una función dada en forma implícita. Máximos y mínimos, puntos de silla. Formula de Taylor de orden dos para campos escalares. Matriz Hessiana. Criterio de la segunda deriva para extremos de funciones de dos variables. Multiplicadores de Lagrange.


Unidad 4: Integrales Múltiples.

Integrales dobles. La integral doble en coordenadas polares. Áreas, momentos y centro de masa. Integrales triples en coordenada rectangulares. Cambio de variable en una integral triple, coordenadas cilíndricas y esféricas. Masas y momentos en tres dimensiones.


Unidad 5: Integrales de Línea y de Superficie.

Integrales de línea. Trabajo, circulación y flujo como ejemplos de campos vectoriales. Independencia de trayectorias, funciones potenciales y campos conservativos. Teorema de Green en el plano. Área de superficie e integrales de superficie. Superficie parametrizada. Teorema de Stokes. El teorema de la divergencia.

Texto:

Cálculo con Geometría Analítica, Edwards y Penney. 4ª Edición. Editorial Prentice Hall. 1996.


Bibliografía:

  1. Cálculo y Geometría Analítica. Vol II. Sherman K. Stein, Anthony Barcellos. McGraw-Hill, 5ª Edición. 1997.

  2. Cálculo Vectorial. Marsden – Tromba. Editorial Addison- Wesley. 3ª Edicion.

  3. Cálculo con Geometría Analítica. Louis Leithold. Editorial Harla, 7ª Edición. 1998.

  4. Cálculo. Vol II, Tom Apóstol. Editorial Reverté, 2ª Edición.

  5. Cálculo de una Variable. Vol II. Thomas/Finney. Addison Wesley Longman, 9ª Edición.

  6. Cálculo. Vol II. Larson / Hostetler / Edwards. 6ª Edición . McGraw-Hill. 1999.