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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo II (111073M). (Matemáticas) (4 créditos) (5 Horas/semana) (Prerrequísito: Cálculo I (111070M), Algebra Lineal (111071M) Cursado) (Habilitable).


Objetivos

  1. Establecer conceptos fundamentales en temas como series, sucesiones, convergencia, funciones vectoriales.

  2. Presentar al estudiante aplicaciones geométricas y de algunos conceptos de la física, como masa, centro de gravedad, etc.

  3. Extender los conceptos de límite, derivación e integración a funciones de varias variables y (campos escalares y vectoriales) y estudiar algunas aplicaciones.

Contenido

  1. Aplicaciones de la integral. (3 semanas):Técnicas de integración (repaso). Aplicaciones: Área, volumen de un sólido de revolución. Longitud de arco y área de una superficie de revolución. Valor promedio de una función. Momentos y centros de masa. Centroide y centro de gravedad. Teoremas de Pappus. Presión de un fluido. Trabajo. Área de una región en coordenadas polares.

  2. Formas indeterminadas. (2 semanas): Formas indeterminadas. Integrales impropias, convergencia.

  3. Sucesiones y series. (4 semanas): Sucesiones. Series complejas y reales. Propiedades. Serie geométrica y series telescópicas. Criterio de la integral. Criterios de convergencia para series de términos no negativos, comparación, por paso al límite, cociente y de la raíz. Series alternadas. Criterio de Leibniz. Convergencia absoluta y condicional. Reordenación de series. Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme de sucesiones de funciones. Convergencia uniforme y continuidad. Convergencia uniforme y integración. Condición suficiente para la convergencia uniforme. Series de potencias, círculo de convergencia. Propiedades. Polinomio de Taylor. Serie de Taylor. Serie binomial. Aplicaciones.

  4. Funciones vectoriales. (3 semanas): Definición, límite, derivada, integral, vector tangente, normal. Aceleración, componentes normal y tangencial de la aceleración, curvatura, longitud de curvas.

  5. Funciones de varias variables. (3 semanas): Campos vectoriales y campos escalares. Curvas y superficies de nivel. Cilindros, superficies de revolución y superficies cuadráticas. Límite y continuidad. Derivada direccional y derivadas parciales de campos escalares. Interpretación geométrica. Derivada total. Gradiente de un campo escalar. Derivadas parciales de orden superior. Regla de la cadena. Aplicaciones: Recta normal y plano tangente a una superficie.

    Derivada de campos vectoriales. Forma matricial de la regla de cadena.


Texto guía:

  1. Tom Apóstol. Calculus Vol. I,, Editorial Reverté, España.

  2. Tom Apóstol. Calculus Vol. II. Editorial Reverté, España.

Bibliografía:

  1. Marsden - Tromba, Cálculo vectorial, Addison Wesley, 4a Edición, 1998.

  2. Thomas - Finney, Cálculo en varias variables. Editorial Addison wesley, Vol l, II.

  3. Michael Spivak. Cálculo infinitisimal, editorial reverté, Vol II, 1977.

  4. Sherman Stein, Barcellos, Cálculo y Geometría analítica, editorial Mcgraw Hill, vol I y II, 1995.