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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Cálculo Avanzado (111076M) (Matemáticas) (5 créditos) (4 horas/semana) (Habilitable) (Prerrequisito: Cálculo II (111073M))

Objetivos
  1. Extender los conceptos de puntos máximos, mínimos y de silla a los campos escalares. Así mismo estudiar algunas de las aplicaciones y el uso de los multiplicadores de Lagrange.
  2. Extender el concepto de integración a funciones de varias variables e introducir la integración sobre caminos y superficies.
  3. Presentar algunas aplicaciones geométricas, así como algunas aplicaciones a la física, a través de las integrales de línea y de superficie.
Contenido
  1. Unidad 1. Aplicaciones del cálculo diferencial (3 semanas).

    Máximos y mínimos. Puntos de silla. Fórmula de Taylor de orden dos para campos escalares. Matriz Hessiana. Criterio de la segunda derivada para extremos de funciones de dos variables. Multiplicadores de Lagrange.

  2. Unidad 2. Integrales de línea (3 semanas).

    Caminos rectificables. Integrales de línea. Propiedades fundamentales. El concepto de trabajo como integral de línea. Integrales de línea respecto a la longitud de arco. Otras aplicaciones de las integrales de línea. Conjuntos conexos abiertos. Independencia del camino. Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea. Aplicaciones a la mecánica. Primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea. Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente. Métodos especiales para construir funciones potenciales. Funciones de potencial en conjuntos convexos.

  3. Unidad 3. Integrales múltiples (5 semanas).

    Definición de integral doble. Integrales iteradas. Interpretación geométrica. Aplicaciones a áreas y volúmenes. Otras aplicaciones de la integral doble. Teoremas de Pappus. Teorema de Green. Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bidimensional sea un gradiente. Cambio de Variable. Integral triple. Definición. Interpretación geométrica. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Cambio de variable. Aplicaciones. Centros de gravedad y momentos de inercia.

  4. Unidad 4. Integrales de Superficie (4 semanas).

    Representación paramétrica de una superficie. Área de una superficie paramétrica. Integrales de superficie. El teorema de Stokes. Rotacional y divergencia de campos vectoriales. Teorema de la divergencia. Aplicaciones.

Texto Guía

Tom Apostol. Calculus Vol II. Editorial Reverté, España, 1973, capítulos 9, 10, 11 y 12.

Bibliografía:
  1. Marsden - Tromba. Cálculo vectorial. Addison Wesley, 4a edición, 1998.
  2. Thomas - Finney. Cálculo en varias variables. Editorial Addison wesley, Vol l,II.
  3. Sherman Stein - Anthony Barcellos. NCáculo y Geometría analítica, editorial Mcgraw Hill, 1995.
  4. G Hwei P. Hsu. Análisis vectorial, Fondo Educativo Interamericano.