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UNIVERSIDAD DEL VALLE
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Topología General (111085M) (Matemáticas) (4 créditos) (4 horas/semana) (Prerrequisito: Análisis I (111079M), Teoría de Conjuntos (111074M))

Objetivos

Preparar al estudiante de matemáticas en los conceptos, propiedades y resultados principales de la teoría de los espacios topológicos abstractos. Al final del curso el estudiante debe poder reconocer cuándo una propiedad es topológica y cuándo no y haber aprendido los ejemplos y contraejemplos fundamentales de esta teoría.

Contenido
  • Unidad 1: Espacios Métricos.

    Métricas sobre un conjunto, espacios métricos, espacios normados, métrica inducida por una norma, bolas abiertas y conjuntos abiertos, funciones continuas, homeomorfismos, métricas equivalentes, abierto relativo, conjuntos abiertos y continuidad.

  • Unidad 2: Espacios Topológicos.

    Definición de espacio topológico, funciones continuas, propiedades topológicas vs propiedades métricas, topología relativa, topología inducida, topología cociente, bases y subbases de una topología, topología producto, interior, frontera y vecindades; conjuntos cerrados, adherencia y puntos de acumulación; espacios T1 y espacios de Hausdorff (T2).

  • UUnidad 3: Espacios Topológicos Conexos.

    Definición de espacio conexo. Conexidad en R. Funciones continuas y conexidad, espacios arcoconexos, relación entre conexidad y arcoconexidad, componentes conexas, espacios totalmente disconexos, espacios localmente conexos y localmente arcoconexos.

  • Unidad 4: Convergencia y Espacios Métricos Completos.

    Convergencia de sucesiones en espacios métricos, subsucesiones, convergencia y continuidad, caracterización por sucesiones de conjunto abierto, punto adherente y punto de acumulación; convergencia en espacios topológicos, espacios E1, sucesiones de Cauchy, funciones uniformemente continuas, espacios métricos completos y sus propiedades, subconjuntos densos, extensión de una aplicación uniformemente continua, completamiento de un espacio métrico, el espacio l2.

  • Unidad 5: Espacios Topológicos Compactos.

    Recubrimientos y subrecubrimientos, conjuntos compactos, propiedades generales de los espacios compactos, la propiedad de intersección finita, teorema de Heine-Borel, propiedad de Bolzano-Weierstrass, continuidad y compacidad, producto finito de espacios compactos, espacios secuencialmente compactos, espacios métricos compactos, espacios totalmente acotados, espacios localmente compactos, compactificación de un espacio topológico, compactificación de Alexandrov.

  • Unidad 6: Separación y Espacios Metrizables.

    Bases enumerables, espacios E2 y sus propiedades fundamentales, espacios normales, espacios T4, espacios de Lindelöff y espacios separables, lema de Uryson, teorema de metrización de Uryson, espacios regulares, espacios T3, condiciones suficientes de metrizabilidad.

Texto Guía

Seymour Lipschutz. General Topology. Schaum Publishing Co. 1965.

Bibliografía:
  1. James R. Munkres. Topology, a first course. Prentice-Hall. 1975
  2. G. F. Simmons. Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill. 1963.

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