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UNIVERSIDAD DEL VALLE


DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS


Matemática Fundamental (111067M) (Matemáticas) (5créditos) (6 horas/semana)


Objetivos.

  1. Sentar las primeras bases en el lenguaje matemático que la carrera de Matemáticas exige, formalizando algunas de las ideas que en esta área ha explorado el bachiller moderno en sus estudios de secundaria.

  2. Consolidar la formación matemática básica requerida para afrontar los cursos posteriores.

  3. Fomentar en el estudiante la escritura rigurosa mediante el desarrollo de problemas que involucren definiciones y teoremas.


Contenido.

Unidad 1. Introducción a la lógica y a los conjuntos. (2 semanas).

Proposiciones. Conectivos lógicos. Tautologías, contradicciones. Razonamientos, razonamientos válidos. Reglas básicas de inferencia. Métodos de demostración. Conjuntos. Cuantifiadores. Negación de proposiciones condicionales cuantificadas.

Unidad 2. Los números reales (7 semanas)

Descripción axiomática de los números reales. Propiedades algebraicas de los números reales. Potencias enteras, progresiones. Axiomas de orden. Propiedades deducibles de los axiomas de orden. La función valor absoluto y sus propiedades. Intervalos. Solución de inecuaciones con una variable real. Conjuntos inductivos. El conjunto de los números naturales. Principio de inducción. Números enteros y números racionales.

Cotas superiores e inferiores. Axioma del extremo superior. Existencia de números irracionales. Densidad de los racionales y de los irracionales en los reales. Radicales, exponentes racionales y reales. Propiedades.

Expresiones matemáticas variables, definición y operaciones. Productos notables, factorización. Factorial, números combinatorios y teorema del Binomio de Newton.

Polinomios. División de polinomios. Regla de Ruffini. Teorema del residuo. Teorema del factor. Teorema fundamental del álgebra. Ceros de un polinomio.

Sucesiones, límite de una sucesión, sucesiones monótonas. Las series de términos positivos, la serie geométrica, los decimales infinitos. Existencia de la raíz enésima. El número e como el límite de la sucesión (1+1/n)n y el número  como el límite del perímetro de un polígono regular inscrito en una circunferencia de radio uno.

Unidad 3. Funciones. (3 semanas)

Definición. Igualdad de funciones. Ejemplos de funciones en diferentes contextos. Problemas cuya solución conlleva a encontrar una función. Funciones inyectivas y sobreyectivas. Funciones monótonas. Operaciones con funciones. Conjunto de funciones con dominio y valor real. Composición de funciones. Función inversa. Parte positiva y negativa de una función, valor absoluto de una función de valor real. Funciones acotadas superiormente e inferiormente. Función par e impar. Gráfica de una función, traslaciones y estiramientos. Funciones polinomiales (lineal y cuadrática). Funciones exponencial y logarítmica. Propiedades.

Unidad 4. Transformaciones de Laplace. (3 semanas)

Funciones trigonométricas y sus inversas. Coordenadas polares. Números complejos. Representación polar, fórmula de Moivre. Raíz enésima de un número complejo.


Texto Guía.

Técnicas y conceptos básicos en Matemáticas. Ernesto Acosta, Jairo Alvarez, Miguel Marmolejo. Notas de clase.


Bibliografía.

  • Swokowski, E. W. Algebra y trigonometría con geometría analítica, 2ª. Edición, 1988..

  • Allendoerfer, C. B. Fundamentos de Matemáticas universitarias, 3ª. Edición, McGraw-Hill, 1996.

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